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完美的对称矩阵 / 正交对角化

为什么说对称矩阵式完美的？

• 对称矩阵的特征值一定是实数
• 对称矩阵的多重特征值，其对应的特征空间的维度一定等于重数
• 对称矩阵的几何重数等于代数重数
• 对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量
• 对称矩阵一定可以被对角化

对称矩阵的所有不同特征值对应的特征向量互相垂直

import numpy as np
from scipy.linalg import svd

A = np.array([[1,2],[3,4], [5,6]])
U, s, VT = svd(A)
print(U)
print(s) # 只返回了奇异值
print(VT)
print()

Sigma = np.zeros(A.shape)
for i in range(len(s)):
    Sigma[i][i] = s[i]
print(Sigma)
print(U.dot(Sigma).dot(VT))

[[-0.2298477   0.88346102  0.40824829]
 [-0.52474482  0.24078249 -0.81649658]
 [-0.81964194 -0.40189603  0.40824829]]
[9.52551809 0.51430058]
[[-0.61962948 -0.78489445]
 [-0.78489445  0.61962948]]

[[9.52551809 0.        ]
 [0.         0.51430058]
 [0.         0.        ]]
[[1. 2.]
 [3. 4.]
 [5. 6.]]