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正交基和标准正交基

正交向量组：一组向量，如果两两正交，则称为正交向量组。
正交非零向量组一定线性无关。

n维空间中，任意n个线性无关的向量，一定是这个n维空间的基。
n个非零正交向量一定是n维空间的基。

正交基：如果一个空间的一组基两两正交，则称这组基为一组正交基。
标准正交基：如果一个空间的一组正交基，模均为1，则称这组基为一组标准正交基。（一个空间的标准正交基也有无数组）

一维投影

因为是向量运算因此$\vec{u}$是不能做约分的

高维投影

此为 Gram-Schmidt 过程（注意，算法的输入是一组基，即线性无关的）

标准正交矩阵

一组n维标准正交基 $\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3},...,\vec{v_n}$ 按照列的方式排成一个n阶方阵$Q$，称$Q$为标准正交矩阵
标准正交矩阵的重要性质：

• $Q^T \cdot Q = I$
• $Q$的各列线性无关
• $Q$可逆
• $Q^T$是$Q$的左逆
• $Q^T$是$Q$的右逆
• $Q^T$是$Q$的逆
• $Q^{-1}=Q^T$

矩阵的QR分解

$A=QR \longrightarrow R=Q^{-1}A \longrightarrow R=Q^T A$