(6, 66)属于二维欧几里得空间；$R^2$
(3.14, 0, sqrt(2)) 属于三维欧几里得空间；$R^3$
欧几里得空间是点集，是起点为原点的向量集合。
欧几里得空间是有序实数元组的集合 $R^n$，空间中的元素是“向量”
欧几里得空间 $\quad R^n \quad$ 是向量空间 (元素：有序实数元组)
对于三维空间来说：
一个空间的基中，向量的个数，称为维度
二维欧几里得空间的维度为2。$e_1 = (1,0)^T \quad e_2=(0,1)^T$
$dim(R^2)=2$
三维欧几里得空间的维度为3。$e_1 = (1,0,0)^T \quad e_2=(0,1,0)^T \quad e_3=(0,0,1)^T$
$dim(R^3)=3$
n维欧几里得空间的维度为n
$dim(R^n)=n$
给处一组n维向量 $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3},... , \vec{v_p} $，其生成空间的维度是多少？
找到这组向量有多少和其他向量线性相关，将这组向量按照行排列成一个矩阵，执行Gauss-Jordan消元法（化为RREF），非零行的个数即为其生成空间的维度。
对于一个矩阵
行向量生成的空间，称为行空间(Row Space)
列向量生成的空间，称为列空间(Column Space)
对于3行4列 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{pmatrix}$
的矩阵，行空间是4维空间的子集，列空间是3维空间的子集，引申得出：
m行n列的矩阵，行空间是n维空间的子集，列空间是m维空间的子集，行最简形式的非零行数量即为维度
主元列的个数，为维度。
主元列的对应原矩阵的列，是列空间的一组基。注意，和行空间的区别，行最简形式中的非零行，不是一组基。
$\begin{pmatrix} I & F \\ O & O \end{pmatrix}$
一个齐次线性方程组的所有解，形成一个向量空间，称这个空间为零空间(Null Space)
A的零空间，就是Ax=0中，所有x组成的空间；
零空间是一个集合，这个集合中的所有的向量，和A的行空间中所有向量点成结果都为0；
这个集合中的所有向量，和A的行空间中所有向量点乘结果为0；
这个集合中的所有向量，和A的行空间中所有向量垂直（正交）；
A的零空间和A的行空间正交；
A的零空间中所有的向量，和A的行空间中所有向量垂直。
矩阵A的零空间
零空间的维度是多少？能否给出一组基？
$\begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 1 & -4 & -13 \\ -3 & 5 & 4 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7x_3 \\ -5x_3 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix}x_3$
$x_3$为自由项，这组基为$\begin{pmatrix} -7 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix}$
零空间的维度是多少？能否给出一组基？
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 27 & 28 & 29 & 30 & 31 & 32 \\ 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 31 & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\ 45 & 46 & 47 & 48 & 49 & 50 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 & -3 & -4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
意味着这个齐次线性方程组的解为
$\left\{
\begin{array}{ll}
x_1 = x_3 + 2x_4 + 3x_5 + 4x_6 \\
x_2 = -2x_3 -3x_4 -4x_5 - 5x_6
\end{array}
\right.$
所以解向量为：$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_3 + 2x_4 + 3x_5 + 4x_6 \\ -2x_3 -3x_4 -4x_5 - 5x_6 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_3 \\ -2x_3 \\ x_3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2x_4 \\ -3x_4 \\ 0 \\ x_4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3x_5 \\ -4x_5 \\ 0 \\ 0 \\ x_5 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4x_6 \\ -5x_6 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ x_6 \end{pmatrix}$
=$\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}x_3 + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}x_4 + \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}x_5 + \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}x_6$
所以零空间的维度为4，这几列的组合就是零空间的基
主元列有2个
自由列有4个
$\left( \begin{array}{cc|cccc} 1 & 0 & -1 & -2 & -3 & -4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$
对于一个$m*n$的矩阵，将其转化为行最简形式，主元列数为列空间的维度（矩阵的秩），自由列数为零空间的维度
$$列空间的维度 + 零空间的维度 = n$$
$$秩(rank) + 零化度(Nullity) = n$$
对于 $m*n$ 的矩阵A