<< 返回 Menu

初等矩阵

对单位矩阵进行一次初等变换得到的结果矩阵，通常记为 E

(左乘一个矩阵A，就是对这个矩阵A进行初等变换)

$ \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$

矩阵的某一行乘以一个常数：$ \begin{pmatrix}k & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}k \cdot a & k \cdot b & k \cdot c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$

矩阵的一行加（减）另一行：$ \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a-g & b-h & c-i \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$

矩阵的一行加（减）另一行的若干倍：$ \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -p \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b & c \\ d-pg & e-ph & f-pi \\ g & h & i \end{pmatrix}$

交换矩阵的两行：$ \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b & c \\ g & h & i \\ d & e & f \end{pmatrix}$ （交换单位矩阵的两行即可）

因此 Gauss-Jordan 消元法把矩阵化为行最简形式的过程，寻找一系列初等矩阵E使得： $$ E_p \cdot ... \cdot E_3 \cdot E_2 \cdot E_1 \cdot A = rref(A) = I$$

初等矩阵对单位矩阵进行一次初等变换得到
因为初等变换是可逆的，所以初等矩阵是可逆的


$E_1 = \begin{pmatrix}k & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} or \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -p \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} or \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
$E_2 = \begin{pmatrix}\frac{1}{k} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} or \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & p \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} or \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
$E_1 \cdot E_2 = I 而且 E_2 \cdot E_1 = I$

初等矩阵和可逆性

根据上面 Gauss-Jordan 消元法： $$ E_p \cdot ... \cdot E_3 \cdot E_2 \cdot E_1 \cdot A = rref(A) = I$$ $$ E_p \cdot ... \cdot E_3 \cdot E_2 \cdot E_1 \cdot A \cdot A^{-1} = I \cdot A^{-1}$$ $$ E_p \cdot ... \cdot E_3 \cdot E_2 \cdot E_1 \cdot I = A^{-1}$$ $$\left( \begin{array}{c|c} A & I \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array}{c|c} I & A^{-1} \end{array} \right)$$

矩阵的逆为什么重要？

这些命题是等价的：

对于方阵A

• 矩阵A可逆（A是非奇异矩阵）
  
• 线性系统 Ax=0 只有唯一解，x=0
  
• rref(A)=I
  
• A可以表示成一系列初等矩阵的乘积
  
• Ax=0 只有唯一解
  
• 方阵A的列向量线性无关
• 方阵A的列向量可以生成n维空间
• 方阵A的列向量是n维空间的基
• A为满秩矩阵（秩 = n）
• A的行秩为n
• A的列秩为n
• A的行空间为$R^n$
• A的列空间为$R^n$
• A的零空间为{$O$}，维度为0
• $det(A) \neq 0$
• 0不是A的特征值