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高斯消元法 Gaussian Elimination

增广矩阵

Augmented Matrix

$\left\{ \begin{array}{ll} x+2y+4z=7 \\ 3x+7y+2z=-11 \\ 2x+3y+3z=1 \end{array} \right.$

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 7 \\ 3 & 7 & 2 & -11 \\ 2 & 3 & 3 & 1 \end{array} \right) -> \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & -10 & -32 \\ 0 & -1 & -5 & -13 \end{array} \right) -> \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & -10 & -32 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right)$

矩阵的某一行乘以一个常数
矩阵的一行加（减）另一行
交换矩阵的两行

高斯-约旦消元法 Gauss-Jordan Elimination

上面的继续消元

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & -10 & -32 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right) -> \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right) -> \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right) -> \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right)$

前向过程 （从上到下）
1，选择最上的主元，化为1
2，主元下面的所有行减去主元所在行的某个倍数，使得主元下面所有元素都为0。

后向过程 （从下到上） 约旦干的
1，选择最下的主元
2，主元上面的所有行减去主元所在行的某个倍数，使得主元上面所有元素都为0。

行最简形式 Reduced Row Echelon Form (RREF)
阶梯型矩阵
非零行的第一个元素（主元）为1
主元所在列的其他元素均为0

线性方程组 解 的解构

方程组有唯一解： $\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -4 \end{array} \right)$
方程组无解： $\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array} \right)$
方程组有无数解： $\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -7 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

齐次线性方程组

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$
肯定有解，关键是看有唯一的零解还是有无数解
最后一列肯定永远为零
齐次线性方程组不需要使用增广矩阵
$\left( \begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & 3 \\ 1 & -4 & -13 \\ -3 & 5 & 4 \end{array} \right) -> \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ 有无数组解